如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按

解：（1）当t=4时，B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=- x+6．

（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴ = = = ，
∴BE= AO=3，CE= OB= ，
∴点C的坐标为（t+3， ）．
方法一：
S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9，
S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t，枝尘搏
S△BEC= BE•CE= ×3× = t，
∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC
= t2+ t+9-3t- t
= t2+9．

方法二：
∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB•BC=BC2．
在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2= t2+9，
即S△ABC= t2+9．

（3）存在，理由如下：
①当t≥0时，
Ⅰ．若AD=BD，
又∵BD‖y轴，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴ = = ，
∴ = ，
∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．
延长AB与CE交于点G，
又∵BD‖CG，
∴AG=AC，
过点A画AH⊥CG于H．
∴CH=HG= CG，
由△AOB∽△GEB，
得 = ，
∴GE= ．
又∵HE=AO=6，CE= +6= ×（ + ），
∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6 ．因为t≥0，
所以t=12+6 ，即B（12+6 ，0）．
Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB．
当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．
∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况．
②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．
可求得点C的坐标为（t+3， ），
∴CF=OE=t+3，AF=6- ，
由BD‖y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴ = ，
∴ = ，∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0，
所以t=12-6 ，即B（12-6 ，0）．
③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，猛祥
可求得点C的坐标为（t+3， ），
∴CF=-（t+3），AF=6- ，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD‖y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴兄陪AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6- =-2（t+3），
解得：t=-8，即B（-8，0）．
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，
此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6 ，0），B3（12-6 ，0），B4（-8，0）．

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段

题图 解：（1）当t=4时，B（4，0）， 设直线AB的解析式为y=kx+b． 把A（0，6），B（4，0）代入得： ， 解得： ， ∴直线AB的解析式为：y=- x+6． （2）过点C作CE⊥x轴于点E， 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC． ∴ = = = ， ∴BE= AO=3，CE= OB= ， ∴点C的坐标为（t+3， ）． 方法一： S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9， S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t， S△BEC= BE•CE= ×3× = t， ∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC = t2+ t+9-3t- t = t2+9． 方法二： ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB•BC=BC2． 在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2= t2+9， 即S△ABC= t2+9． （3）存在，理由如下： ①当t≥0时， Ⅰ．若AD=BD， 又∵BD‖y轴， ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD， 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB， ∴ = = ， ∴ = ， ∴t=3，即B（3，0）． Ⅱ．若AB=AD． 延长AB与CE交于点G， 又∵BD‖CG， ∴AG=AC， 过点A画AH⊥CG于H． ∴CH=HG= CG， 由△AOB∽△GEB， 得 = ， ∴GE= ． 又∵HE=AO=6，CE= +6= ×（ + ）， ∴t2-24t-36=0， 解得：t=12±6 ．因为t≥0， 所以t=12+6 ，即B（12+6 ，0）． Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB． 当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB． ∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况． ②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F． 可求得点C的坐标为（t+3， ）， ∴CF=OE=t+3，AF=6- ， 由BD‖y轴，AB=AD得， ∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB， ∴∠BAO=∠FAC， 又∵∠AOB=∠AFC=90°， ∴△AOB∽△AFC， ∴ = ， ∴ = ，∴t2-24t-36=0， 解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0， 所以t=12-6 ，即B（12-6 ，0）． ③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD， 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F， 可求得点C的坐标为（t+3， ）， ∴CF=-（t+3），AF=6- ， ∵AB=BD， ∴∠D=∠BAD． 又∵BD‖y轴， ∴∠D=∠CAF， ∴∠BAC=∠CAF． 又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC， ∴△ABC≌△AFC， ∴AF=AB，CF=BC， ∴AF=2CF，即6- =-2（t+3）， 解得：t=-8，即B（-8，0）． 综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形， 此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6 ，0），B3（12-6 ，0），B4（-8，0）．

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕

（1）当t=4时，B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入得： b=6 4k+b=0 ，解得： k- 3 2 b=6 ，则直线AB的解析式是：y=- 3 2 x+6；（2）过C作CE⊥x轴于点E．∵∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，∴△AOB ∽ △BEC，∴ BE AO = CE BO = BC AB = 1 2 ，∴BE= 1 2 AO=3，CE= 1 2 OB= t 2 ，∴点C的坐标是（t+3， t 2 ）．S 梯形AOEC = 1 2 OE?（AO+EC）= 1 2 （t+3）（6+ t 2 ）= 1 4 t 2 + 15 4 t+9，S △AOB = 1 2 AO?OB= 1 2 ×6?t=3t，S △BEC = 1 2 BE?CE= 1 2 ×3× t 2 = 3 4 t，∴S △ABC =S 梯形AOEC -S △AOB -S △BEC = 1 4 t 2 + 15 4 t+9-3t- 3 4 t= 1 4 t 2 +9．